旅途的中点

视频推荐#

多元微积分的初步解析

难度加大了，很多地方都是半懂不懂的，现在来对不懂的的地方做个总结

梯度#

第一个:

疑惑源

这里现在看来是需要转化一下图像的理解，在一个二维的函数里，出现了一个三维的图像，因此会造成理解上的一些问题。

我们只需要加一个z轴，并且使得:

需要注意的是，这里的立体图像应该是对应xy平面垂直的z轴所对应的高度，因此不需要管山似乎是倾斜的，一个二维的向量怎么使得x，y，z轴都在增高，造成类似于一种爬坡的错觉，而是应该关注xy平面所对应的点，在顺着二维向量走的方向所对应的z轴高度是多少。

第二个：

疑惑源

梯度本来就是一个方向的话，为什么沿着这个方向走上升一定最快，沿着其他方向不行呢？

你可能会跟我一样疑惑，那就是为什么偏导的方向一定是最快的，而且这里看起来似乎是，先射箭，然后画了一个靶子。

任意单位向量投影到偏导的方向，问哪个最大，就是上升最快的方向，转换一下，就是先知道最短路径，然后问你怎么走最快…

这里我们需要从极限的定义开始求证,假设函数$f(x,y)$在点$(a,b)$,沿着方向向量$\vec v=(\vec v_1,\vec v_2)$ 走了一步，步长为 $h$（注：这里就变成$h\vec v$了）

那么，沿着这个方向的变化率（方向导数 $D_{\vec{v}}f$）的严格数学定义是：

这个没问题，对吧？

根据微积分的原理（全微分或多元链式法则），当步长 $h$ 非常非常小的时候，函数总的变化量，可以拆解为 $x$ 方向的变化和 $y$ 方向的变化的线性叠加。

这里再解释一下。

在一元微积分中，如果你把一条平滑的曲线无限放大，它看起来就像一条直线（切线）。所以一段微小的变化量可以用斜率乘以步长来近似：

那么多元呢？

我们在x走的一小步，y走的一小步，对于高度的影响是怎么样的呢？（假设函数结果为z,不过我觉得在一维坐标轴上映射会更便于理解）

在这个平坦的切平面上走路，高度的变化非常简单：

往 $x$ 方向走一步，高度的倾斜程度是 $\frac{\partial f}{\partial x}$。

往 $y$ 方向走一步，高度的倾斜程度是 $\frac{\partial f}{\partial y}$。

想象一下，当你把一个弯曲的曲面无限放大，它局部看起来就像一块完全平坦的“切平面”。

在一块平整的斜板上，无论你往哪个斜向走，总的高度变化，都严格等于你“先在 $x$ 方向走一段带来的高度变化”加上“再在 $y$ 方向走一段带来的高度变化”。在这个极小的局部范围内，没有了曲面的弯曲干扰，横向和纵向的影响是完全独立的，可以完美地线性叠加。

因此我们可以拆开。

在我们的场景中：

$\Delta x = h v_1$ $\Delta y = h v_2$

把它们代入上面的近似公式：

把这个高度变化代回原始的极限定义中，除以步长 $h$：

剩下的结果是：

正好是点积的形式，不是吗？

曲率#

疑惑点（两节）

首先是二阶导代表什么：

我们可以想象一个圆周运动，原函数表路程，一阶导就是速度，二阶段自然是加速度，加速度又分为切线加速度和法向加速度，切线加速度更改速度大小，法向加速度更改方向。

对于一阶导来说，二阶段可以分为两个分量，一阶导的水平部分和垂直部分，水平方向表示速度的增加或减少，垂直方向表示速度的方向变化

视频里是以几何而且是非常抽象的角度,并且混杂了几何和代数的角度去说明的，容易让人一头雾水。在这里我们需要先明确曲率的定义，并且先以代数的角度说明：

单位切向量关于 “弧长$s$”（走过的实际距离）的变化率，记作 $\left|\left|\frac{d\vec{T}}{ds}\right|\right|$

$\vec{T} = \frac{\text{切向量}}{\text{切向量的长度}} = \frac{\vec{s}'}{||\vec{s}'||}$

视频中变化成了这样:

我们知道了$\vec T$是$\frac{\vec{s}'}{||\vec{s}'||}$,那么上面求导，有:

$\frac{d\vec{T}}{dt} = \frac{\vec{s}'' \cdot ||\vec{s}'|| - \vec{s}' \cdot \frac{d}{dt}(||\vec{s}'||)}{||\vec{s}'||^2}$

$\frac{d\vec{T}}{dt} = \frac{\vec{s}'' \cdot ||\vec{s}'||}{||\vec{s}'||^2} - \frac{\vec{s}' \cdot \frac{d}{dt}(||\vec{s}'||)}{||\vec{s}'||^2}$

$\frac{d\vec{T}}{dt} = \frac{\vec{s}''}{||\vec{s}'||} - \left( \frac{\frac{d}{dt}(||\vec{s}'||)}{||\vec{s}'||^2} \right) \vec{s}'$

然后到了数学经典的小巧思环节，因为求导后第二项的$\vec {s}'$是和$\vec T$向量平行的，$\vec T$正好又是单位向量，求导又一定和$\vec T$垂直。叉乘后可以减去第二项…反正有一种强行的美，具体式子如下：

$\left\| \vec{T} \times \frac{d\vec{T}}{dt} \right\| = ||\vec{T}|| \cdot \left\| \frac{d\vec{T}}{dt} \right\| \cdot \sin(90^\circ) = 1 \cdot \left\| \frac{d\vec{T}}{dt} \right\| \cdot 1 = \left\| \frac{d\vec{T}}{dt} \right\|$

可以看出来是没有变化的，所以原式就变成了：

$\vec{T} \times \frac{d\vec{T}}{dt} = \vec{T} \times \frac{\vec{s}''}{||\vec{s}'||} = \frac{\vec{s}'}{||\vec{s}'||} \times \frac{\vec{s}''}{||\vec{s}'||}$

最后别忘了我们算的是$\frac{d\vec{T}}{dt}$,需要再除以一个$\frac {ds}{dt}$（弧长对时间求导)，下面的正好等于一阶导$|| \vec s'||$(速度)

因此最后的结果为:

$\text{曲率 } \kappa = \frac{\left\| \frac {\vec {s}'}{||\vec{s}'||} \times \frac {\vec {s}''}{||\vec{s}'||} \right\|}{|| \vec s'||}$

(所以说为什么乱啊，几何代数都成一团了，能不乱吗？) 明白了这个我们再去看几何解释:

首先是为什么要标准化:

$||\frac{d\vec{T}}{dt}||$算的是什么呢？

是：“经过1秒钟，方向偏转了多少弧度？

我们要求的是什么？

是弧长的变化率。

那么，速度的大小是会影响$\left|\left|\frac{d\vec{T}}{ds}\right|\right|$的，速度越快，1秒钟方向偏转的就越多。

所以我们这里需要 $\frac{\vec{s}'}{||\vec{s}'||}$,也就是对速度标准化，不能让速度大小影响到曲率的判断。

然后是标准化为什么二阶导除以的是一阶导：

加速度是有大小的，如果真正标准化的话，会变成一个只有方向而没有大小的量。就丢失了信息，是没有意义的，而曲率计算的正是一阶导变化的快慢。

至于为什么要除以一阶导嘛，等比缩放，求速度的公式是:

我们现在将v标准化处理了，还能用原来的加速度吗？

都要按比例缩放，所以自然要除以一个同样的数，这样按比例乘回来才对吧？

那么我们得到了一个速度方向，一个加速度方向，然后我们又知道加速度分为切线加速度和法向加速度，只有法向加速度才会改变方向，而方向的变化快慢才是衡量曲率的标准，所以我们需要叉乘，因为叉乘会过滤掉切线加速度，只留下法向加速度。

所以我们可以得到：

代表的几何意义就是经过一秒钟，方向变换了多少。

我们也可以从这里看出，如果速度不标准化，会对这里产生影响。

最后自然是回归曲率的定义：

$\text{曲率} = \frac{\text{1秒内的方向偏转量}}{\text{1秒内走过的距离}} = \frac{\left\| \frac {\vec {s}'}{||\vec{s}'||} \times \frac {\vec {s}''}{||\vec{s}'||} \right\|}{||\vec{s}'||}$

散度#

散度要说的其实并不多，唯一一个我可能想提一点的就是为什么散度一定代表了某个方向的流入和流出趋势。

一开始我想的是，散度周围的所有点的向量加和的总数，才能判断散度是正还是负才对。

但是散度这里本来就是偏导偏出来的，偏导是什么呢？偏导是对于x和y的微调，对吧？

那么不就是积分吗？如果微调x轴左侧，发现流入的水少，右侧流出的水多，那么在这里就是正的散度，反之则是负散度，已经考虑了所有的点了，不是吗？

旋度#

这里的公式不是很理解，也很难从直观的几何做出解释，只能说i，j，k代表x，y，z的旋转方向，合起来的向量就是三维的真实旋转方向。