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线性代数，看这个就对了

叉积

目前让我觉得比较困惑的可能就是一个叉积了，这里我觉得应该不是我理解的问题，而是一个角度的问题，如果解析清楚了角度，那么便没有什么难的地方了。

首先需要明确的一个点，那就是，叉积是一个人为定义的计算。

这里第八章第二部分，并不是使用叉积去解释某些几何直观，而是在从几何意义上证明叉积这个运算。

所以，很多看上去多此一举的操作，是因为你已经下意识的认为：

$$\vec{u} \times \vec{{v}}=\vec{p}$$

但是这个视频是要证明这个东西的，并不能直接拿来用。

好。那么我接下来会说一些之前困惑我的点：

为什么是线性的？

$$|\vec{u} \times \vec{{v}}|=面积$$

那么平行六边形的体积，自然就等于垂直于uv这个平面的高，对于$(x,y,z)$这个向量，投影到这个垂直的高，自然会随着$(x,y,z)$的变化而变化。

不过需要注意的是，线性变换并不是一一对应的，在同一个平面上的向量的投影一定都是同一个点，这个涉及零空间，我们只需要知道线性变化的定义：

可加性： $f(\vec{u} + \vec{v}) = f(\vec{u}) + f(\vec{v})$

齐次性（按比例拉伸）： $f(c\vec{u}) = c \cdot f(\vec{u})$

只要满足，那么就是线性变换。

如果你的直觉足够敏锐，还能发现一个更大的问题：

$$|\vec{u} \times \vec{{v}}|=面积$$

这个不是需要证明的东西吗？

我们打个比喻，那就是，这里有一个锤子，它能用来敲钉子，你不用证明锤子能敲钉子，而是为了敲钉子去造锤子。

我们这里就是：

已知我们需要一个代表面积且垂直的向量（为了凑出体积），证明它的代数公式必然长成这样

所以，向量$\vec{p}$就是被规定了，是垂直于两个向量，并且长度等于底面面积。

那么显然存在：

$$\vec{p} \cdot \vec{x}=体积$$

更进一步的，我们同样可以得到:

$$体积=底面积\times|\vec{x}|\times cos\theta$$

那么我们可以得到:

$$\vec{p}=底面积$$

证明完毕

好吧，虽然我也觉得有些奇怪，但是至少说的过去…

特征向量与特征值

这是第二个让我比较困惑的点，困惑的地方在于，为什么线性变化后，特征向量并没有发生方向上的变化。

为了解决这个问题，我重新去看了一遍第六个视频，似乎有了一些新的理解。

在第六个视频中，解方程是这样的：

$$A \vec{x}=\vec{v}$$

对向量$\vec{x}$进行A方阵变化，则能得到求解的向量$\vec{v}$

先思考一下，如果存在唯一解，那么变化后空间应该不能被压缩。

那么对于特征向量，我们如果要让其在同一直线上，是会存在：

$$A \vec{v}=\lambda\vec{v}$$

如果将其视为解一个方程，这个式子是什么意思？

那就是，A只对$\vec{i}$,$\vec{j}$其进行了拉伸。

那么显而易见的是，拉伸后的向量和原来的向量是在同一方向上的，不是吗？

但是这好像并不正确，因为我们知道A大多数时候并不是一个对角矩阵，$\vec{i}$,$\vec{j}$都可以被任意拉伸，不是吗？

(再去看了一遍基底变换，突然又懂了点。)

但我们的坐标系只是以我们自己的角度出发去看的，为什么我们不先变换坐标系呢？

如果我们能找到那个变化的坐标系，使得在这个坐标系上，那些特征值可以作为基向量，使得其只能被拉伸，现在在转回我们的坐标系，不就是对应了和张成空间的方向相同吗？

这就是之后的特征基的含义。

以下为代数思考

二维塌缩到一维的时候，只有少量线会完全塌缩到$\vec{0}$上，类似于投影，只有完全垂直于该一维的线才能完全塌缩到$\vec{0}$

那么我们现在转化为代数思维，先将其看做向量，则：

$$A\vec{v}-\lambda\vec{v}=\vec{0}$$

我们从数学意义上思考，两个向量相减，在图形上是怎么表现的？

从减数尾部到被减数尾部，对吧？

那么$\vec{0}$，就代表了这两个向量重叠。

我们在来思考一个问题：

在这个平面内，为什么我要主动引发塌缩，并且能使其塌缩的$\lambda$就一定是特征值？

来看这个式子：

$$(A- \lambda I)\vec{v}=\vec{0}$$

$\vec{0}$代表着什么？

是$(0,0)$这个向量吧？

那么，在二维的空间里，存在点对应$\vec{0}$这一个向量吗？

显而易见的是，只有$\vec{0}$才会对应$\vec{0}$。

那么实际上，这个行列式：

$$(A- \lambda I)=0$$

这就意味着，$\vec{v}$在这个特定的变化上，所有的拉伸都压缩到了$\vec{0}$

因为这里可以乘以一个任意的常数，能代表这条线，不是吗？

还是有点混乱，看看我之后能不能解释吧。